¿Qué información proporcionan los valores de b_{i} que se obtienen en el proceso de estimación?

La interpretación de los coeficientes — b_i — varía dependiendo de si el modelo es lineal o si ha sido transformado en lineal mediante algún cambio en las variables.

Es recomendable decidir, en cada caso particular, la conveniencia o no de utilizar modelos no lineales en base a la teoría económica y al conocimiento previo de la realidad que se pretende modelizar.  En las aplicaciones empíricas es habitual encontrase con modelos no lineales, por ejemplo, en aquellos que explican los incrementos salariales, las funciones de demanda, de producción o de costes.

El ensayo de formas funcionales alternativas exige una comparación de resultados que debe realizarse, en cualquier caso, con mucha cautela. 

Modelo lineal en variables: \widehat y_{t} = b_0 + b_1· x_{1t} + ··· + b_k · x_{kt}

El valor de b_0 —estimación de la ordenada en el origen \beta_0— indica el valor que se estima que, por término medio, toma la variable explicada cuando todas las explicativas se anulan. Desde el punto de vista económico, esta estimación no suele proporcionar información relevante porque lo más frecuente es que no todas las variables explicativas puedan anularse.

Los valores de b_1, b_2, ···, b_k —estimaciones de los coeficientes angulares \beta_1, \beta_2, ···, \beta_k— indican la magnitud del cambio estimado, por término medio, en la variable explicada si varía en una unidad una de las explicativas, suponiendo constantes todas las demás (efectos parciales o efectos ceteris paribus). 

Caso práctico: modelo ventas

\widehat V_t = 164,411 -7,96782 \thinspace PP_t + 3,5303 \thinspace PPC_t

donde V representa a las ventas, expresadas en miles de euros, PP al precio del producto y PPC al precio del producto competitivo, ambos expresados en euros/unidad.

Interpretación de los coeficientes estimados

El valor de b_0 indica que si el precio del producto y el del bien competitivo fuesen cero, por término medio el valor estimado de las ventas sería 164,411 miles de euros:

\color {black}  \widehat V_t = 164,411 -7,96782· \color {red} 0 \color {black} + 3,5303  · \color {red} 0 \color {black} = 164,411

Desde el punto de vista económico, esta interpretación carece de significado puesto que no tiene sentido que los precios de ambos productos se anulen.

b_1 \eqsim -7,97 es la variación que experimentan por término medio las ventas estimadas si el precio del producto se incrementa en una unidad y el precio del bien competitivo permanece constante. 

Si ambos precios fuesen 12 €/unidad, se estima que por término medio se venderían 111,161 miles de euros (111.161€):

\color {black} \widehat V_{t-1} = 164,411 -7,96782· \color {red}12 \color {black}+ 3,5303  · \color {red}12 \color {black}= 111,161

Pero si PP se incrementa en una unidad y PPC se mantiene constante (ceteris paribus), por término medio las ventas estimadas serían 103,193 miles de euros (103.193€).

\color {black} \widehat V_t = 164,411 -7,96782· \color {red}13 \color {black}+ 3,5303  · \color {red}12 \color {black}= 103,193

La variación que se produce en las ventas estimadas es, aproximadamente, de -7,97 miles de euros:

\color {black} \Delta \widehat V = \widehat V_{t} – \widehat V_{t-1} = 103,193 – 111,161 = -7,97

El valor de b_1 permite cuantificar el efecto parcial de los precios del producto sobre las ventas estimadas. El signo del estimador es coherente con los supuestos teóricos.

b_2 \eqsim 3,53 indica que si el precio del bien competitivo se incrementa en una unidad y el del producto se mantiene constante, se estima que, por término medio, las ventas aumentarían en 3,53 miles de euros (3.530€). Tal y como establecen los supuestos teóricos, entre las ventas y los precios de un bien competitivo existe una relación lineal directa. 

Modelo doble logarítmico: \widehat {ln \thinspace y_{t}} = b_0 + b_1· ln \thinspace x_{1t} + ··· + b_k · ln \thinspace x_{kt}

El modelo no lineal en variables  y_t = e^{ \beta_0} x_1^{ \beta_1}  ···  x_k^{ \beta_k}  e^{ \varepsilon_t}  se linealiza transformando tanto la variable explicada como las explicativas en sus logaritmos neperianos (el logaritmo natural o neperiano es la inversa de la función exponencial, es decir, es la función para la cual x= ln(e^{x}) ).

ln \thinspace y_t = \beta_0 + \beta_1 · ln \thinspace  x_1 +  ··· + \beta_k · ln \thinspace  x_k +   \varepsilon_t

El valor de b_0 — estimación de la ordenada en origen \beta_0—  indica por término medio el valor estimado del logaritmo neperiano de la variable ‘y’ cuando los logaritmos neperianos de las variables x_1, x_2, ···, x_k son cero.

Los valores de b_1, b_2, ···, b_k —estimaciones de los coeficientes angulares \beta_1, \beta_2, ···, \beta_k— indican por término medio el porcentaje de variación estimado de la variable ‘y’ cuando varía en un 1% la x_i correspondiente, permaneciendo constantes todas las demás.

Desde un punto de vista económico, b_1, b_2, ···, b_k son una estimación de las elasticidades.

Caso práctico: modelo ventas

  \widehat {ln \thinspace V_t} = 5,30 \thinspace – \thinspace 0,52  ln \thinspace  PP_t \thinspace + \thinspace 0,30  ln \thinspace  PPC_t 

donde ln \thinspace V representa al logaritmo neperiano de las ventas, ln \thinspace PP al del precio del producto y ln \thinspace PPC al del precio del producto competitivo.

Interpretación de los coeficientes estimados

b_0 = 5,30 es, por término medio, el valor estimado del logaritmo neperiano de las ventas si los logaritmos neperianos de las variables precio del bien y precio del bien competitivo son cero — ln \thinspace x = 0 \rightarrow x =1—  por tanto, si los precios de los productos fuesen unitarios, se estima que las ventas serían 200,34 miles de euros ya que: \widehat {V} = e^{5,30} = 200,34

b_1 = -0,52 indica que si los precios del producto se incrementan un 1%, y los del bien competitivo se mantienen constantes, se estima que, por término medio, la ventas disminuirían un 0,52%.

Si ambos precios fuesen 12€/unidad:

\color {black} \widehat {ln \thinspace V_t} = 5,30 \thinspace – \thinspace 0,52  ln \thinspace  \color {red} 12 \thinspace \color {black} + \thinspace 0,30  ln \thinspace  \color {red}12  \color {black}= 4,7533 \rightarrow \widehat {V}_{t} = 115,97

Pero si PP se incrementa en un 1% y PPC se mantiene constante:

\color {black} \widehat {ln \thinspace V_t} = 5,30 \thinspace – \thinspace 0,52  ln \thinspace \color {red} 12,12 \thinspace \color {black} + \thinspace 0,30  ln \thinspace \color {red} 12 \color {black} = 4,7481 \rightarrow \widehat {V}_{t} = 115,37

Por tanto:

\color {black} b_1 = \frac {(115,37 -115,97)}{115,97} *100 = -0,52

b_2 = 0,30 indica que si los precios del producto se mantienen constantes y el del bien competitivo se incrementa en un 1%, se estima que, por término medio, las ventas aumentarían un 0,30%.