Caso práctico
El propietario de un negocio de venta al por menor de un producto debe tomar una decisión sobre su política de precios. Su preocupación es que no sabe qué es lo que va a hacer su competidor directo. Así que, antes de pensar en su estrategia, se pregunta cuánto variarían sus ventas si su competidor rebajase el precio de sus productos. No hace falta que nadie le explique que si el precio del bien competitivo se incrementa, y él no modifica sus precios actuales, sus ventas aumentarán, pero ¿cuánto? En definitiva, este empresario quiere cuantificar el efecto aislado de una variación en los precios del bien competitivo sobre las ventas de su producto. En lenguaje matemático, representamos por la letra griega \beta_2 a la variación ( \Delta) de las ventas provocada por la variación ( \Delta ) en el precio del producto competitivo:
\beta_2 = \frac {\Delta Ventas}{\Delta Precio \thinspace Producto \thinspace Competitivo}
Si, por ejemplo, el valor de \beta_2 fuese 3, entonces un incremento de los precios del producto competitivo de 2 unidades monetarias daría lugar a una variación en las ventas esperadas de (3 x 2 = 6) seis unidades monetarias. Es decir, se podría esperar un incremento en las ventas de 6 unidades monetarias como consecuencia del incremento de los precios del producto competitivo en 2 unidades monetarias, siempre y cuando los precios del producto se mantuviesen constantes.
La respuesta a la pregunta planteada exige, pues, un análisis cuantitativo de la relación que existe entre estas variables. Con este propósito, el empresario reúne los datos correspondientes a las ventas (V) de los doce meses del año 2001, expresadas en miles de euros, y de los precios tanto de su producto (PP) como del competitivo (PPC), expresados en euros por unidad. Pero es consciente de que las ventas no sólo dependen del precio de ambos productos, sino que también hay otros factores que las condicionan. Finalmente, apunta que, en última instancia, el volumen de ventas de su negocio, está sujeto a ciertas variaciones aleatorias en tanto en cuanto depende de la voluntad de los compradores.
Dado que no dispone de datos para otras variables como, por ejemplo, la renta de sus clientes, como planteamiento inicial, solo se consideran los precios como factores determinantes de las ventas y el efecto conjunto de todos estos otros factores se recoge en una variable aleatoria (\varepsilon).
Para cada mes (t), las ventas del negocio (V_t) quedan determinadas por una componente determinista (\beta_0 + \beta_1 PP_t + \beta_2 PPC_t) y otra aleatoria (\varepsilon_t). Esta componente determinista es la esperanza matemática de las ventas condicionada a que los precios toman ciertos valores
E(V_t/ PP = PP_t , PPC = PPC_t)
que se conoce con el nombre de función de regresión poblacional y que, en adelante, representaremos por E(V_t) .
La ecuación del modelo que explica el comportamiento de las ventas en función de los precios para cada mes – representado genéricamente por la letra t – es:
V_t = \beta_0 + \beta_1 PP_t + \beta_2 PPC_t + \varepsilon_t
donde V_t representa a las ventas del establecimiento; PP_t a los precios del producto; PPC_t a los precios del producto competitivo; \beta_0, \beta_1 y \beta_2 a los coeficientes y \varepsilon_t a las desviaciones existentes entre las ventas del t-ésimo mes y el promedio de ventas, causadas por todos aquellos factores que no han sido explícitamente considerados en la ecuación ( \varepsilon_t = V_t – E(V_t)).
El objetivo es cuantificar los valores de los coeficientes \beta del modelo con el inconveniente de que no se conocen los valores esperados de las ventas para cada mes porque se trabaja con datos procedentes de una muestra y no con los de la población de la que proceden que, en este caso, estaría formada por todos aquellos negocios que se dedican a la venta de este mismo producto. Este problema se resuelve calculando de forma aproximada (estimando) los valores de estos coeficientes con los datos disponibles a través del método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
Presentación formal del modelo en álgebra matricial
Caso general
Las variables que intervienen en un modelo uniecuacional múltiple (un sola ecuación y k variables explicativas) están relacionadas mediante un conjunto de T (número total de datos disponibles) ecuaciones lineales.
y_1 = \beta_0 + \beta_1 x_{11} + … + \beta_k x_{k1} + \varepsilon_{1}
y_2 = \beta_0 + \beta_1 x_{12} + … + \beta_k x_{k2} + \varepsilon_{2}
································
y_T = \beta_0 + \beta_1 x_{1T} + … + \beta_k x_{kT} + \varepsilon_{T}
Para escribirlas en notación matricial, se definen los siguientes vectores y matrices:
Y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ··· \\ y_{T} \end{pmatrix}
Orden T x 1
Valores observados de la variable explicada por el modelo
X = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & ··· & x_{k1} \\ 1 & x_{12} & ··· & x_{k2} \\ ··· & ··· & ··· & ··· \\ 1 & x_{1T} & ··· & x_{kT} \end{pmatrix}
Orden: T x (k +1)
Valores observados para los k +1 regresores
\beta = \begin{pmatrix} \beta_{0} \\ \beta_{1} \\ ··· \\ \beta_{k} \end{pmatrix}
Orden: (k +1) x 1
Coeficientes del modelo
\varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ ··· \\ \varepsilon_{T} \end{pmatrix}
Orden: T x 1
Perturbaciones aleatorias
La expresión del modelo en forma matricial es: Y = X \beta+ \varepsilon
Caso práctico: modelo de ventas
Con los datos para las variables ventas (V), precio del producto (PP) y precio del producto competitivo (PPC) se construye la matriz de regresores (X) y el vector de observaciones de la variable explicada (Y).
Y = \begin{pmatrix} 101 \\119 \\ ··· \\ 139 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 &10,1 & 5,3 \\ 1 & 9,2 & 8,2 \\ ··· & ··· & ··· \\ 1 & 9,9 & 14,0 \end{pmatrix}
El modelo está formado por 12 ecuaciones lineales:
101 = \beta_0 + \beta_1 · 10,1 + \beta_2 · 5,3 + \varepsilon_{1}
119= \beta_0 + \beta_1 · 9,2 + \beta_2 · 8,2 + \varepsilon_{2}
································
139 = \beta_0 + \beta_1 · 9,9 + \beta_2 · 14,0 + \varepsilon_{12}