Propiedades del ajuste mínimo cuadrático ordinario (MCO)
Las propiedades del método de mínimos cuadrados ordinarios se deducen de las expresiones que definen al error (e = Y – \widehat Y) y al vector de estimadores mínimo cuadráticos ordinarios: b = (X´X)^{-1} X´Y
X^{\prime}e =\begin{pmatrix} 1 & 1 & ··· & 1 \\ x_{11} & x_{12} & ··· & x_{1T} \\ ··· & ··· & ··· & ··· \\ x_{k1} & x_{k2} & ··· & x_{kT} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ ··· \\ e_{T} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{t=1}^{T} e_{t } \\ \sum_{t=1}^{T} e_{t }x_{1t} \\ ··· \\ \sum_{t=1}^{T} e_{t }x_{kt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ··· \\ 0 \end{pmatrix}
Los errores de la estimación son la diferencia entre los valores observados y los estimados de la variable explicada ( e_t = y_t – \widehat y_t ). Para cada punto del diagrama de dispersión hay un error, algunos son positivos y otros negativos de tal forma que se compensan.
- La suma de los errores de estimación es cero:
\sum_{t=1} ^T e_t = 0 \rightarrow \overline e = \frac{ \sum_{t=1} ^T e_t}{T} = 0
2. Entre los errores y las variables explicativas no existe correlación muestral.
\sum_{t=1} ^T (x_{it} – \overline {x}_i) e_t = \sum_{t=1}^T x_{it} e_t – \overline {x}_i \sum_{t=1} ^T e_t = 0 \thinspace \forall i = 1, 2, ··· , k
Cov( x_{it}, e_t) = 0 \rightarrow r_{x_{i}, e} = 0
Como consecuencia de estas propiedades, se tiene que:
- Las sumas y las medias muestrales de los valores observados y estimados del regresando coinciden.
\sum_{t=1} ^T e_t = \sum_{t=1} ^T (y_t – \widehat y_t) = 0 \rightarrow \sum_{t=1} ^T y_t = \sum_{t=1} ^T \widehat y_t \rightarrow
\frac {\sum_{t=1} ^T y_t}{T} = \frac{\sum_{t=1} ^T \widehat y_t}{T} \rightarrow \large \overline y =\overline{ \widehat y}
- Entre los errores y los valores estimados de la variable explicada no existe correlación muestral.
\sum_{t=1} ^T (\widehat y_{t} – \overline {\widehat {y}}) e_t = \sum_{t=1}^T \widehat y_{t} e_t – \overline {\widehat y} \sum_{t=1} ^T e_t = 0
Cov( \widehat y_{t}, e_t) = 0 \rightarrow r_{\widehat y, e} = 0
- La función de regresión estimada pasa por el punto de coordenadas medias:
\overline y = b_0 + b_1 \overline {x_1} + b_2 \overline x_2 + ··· + b_k \overline x_k
Si el modelo no se estima por mínimos cuadrados ordinarios y/o no incluye ordenada en el origen, algunas de estas propiedades no se cumplen.