{"id":2520,"date":"2021-02-16T07:07:21","date_gmt":"2021-02-16T06:07:21","guid":{"rendered":"http:\/\/fee.carlarey.es\/?page_id=2520"},"modified":"2021-09-23T18:55:29","modified_gmt":"2021-09-23T17:55:29","slug":"bondad-del-ajuste","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fee.carlarey.es\/index.php\/e-learning\/tecnicas-de-calculo\/bondad-del-ajuste\/","title":{"rendered":"Bondad del ajuste"},"content":{"rendered":"\t\t
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An\u00e1lisis de la calidad del ajuste<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Una vez estimado el modelo por MCO ha de valorarse en qu\u00e9 medida la funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada describe los datos.\u00a0<\/p>

El m\u00e9todo de m\u00ednimos cuadrados ordinarios consiste en seleccionar aquella funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada que minimiza la suma de los cuadrados de los errores, es decir, aquella con la que se cometen los menores errores posibles, lo que no significa que sean peque\u00f1os. En otras palabras, la funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada es la que mejor se ajusta a la nube de puntos, pero esto no quiere decir que se ajuste bien.\u00a0<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Caso pr\u00e1ctico: modelo para el consumo de energ\u00eda<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Para medir el efecto de la renta per c\u00e1pita (expresada en miles de euros) sobre el consumo de energ\u00eda (expresado en kilovatios\/hora), se han recogido datos para 50 individuos y se ha estimado por MCO el modelo que relaciona a ambas variables.<\/p>

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\u00bfPodr\u00eda decirse que las observaciones est\u00e1n muy agrupadas alrededor de la recta de regresi\u00f3n estimada o, por el contrario, est\u00e1n muy dispersas? \u00bfQu\u00e9 parte de la variaci\u00f3n del consumo de energ\u00eda explica la regresi\u00f3n?\u00bfla renta per c\u00e1pita explica bien el consumo de energ\u00eda?<\/p>

Para responder a estas preguntas, podr\u00edamos representar gr\u00e1ficamente la nube de puntos y valorar, intuitivamente, si la recta de regresi\u00f3n estimada se ajusta bien a los datos.<\/p>

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Pero, \u00bfestamos seguros de nuestro criterio? \u00bfc\u00f3mo lo hacemos si el modelo es m\u00faltiple (m\u00e1s de una variable explicativa) teniendo en cuenta que, en este caso, la funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada es un hiperplano?<\/p>

Lo m\u00e1s \u00fatil es disponer de medidas que resuman esta informaci\u00f3n y nos permitan evaluar la calidad del ajuste efectuado.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Medidas evaluadoras de la calidad del ajuste<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La bondad del ajuste depende de lo pr\u00f3ximos que est\u00e9n los valores observados y estimados del regresando; es decir, del tama\u00f1o de las distancias que hay desde cada uno de los puntos del diagrama de dispersi\u00f3n a la funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada o, lo que es lo mismo, del tama\u00f1o de los errores de la estimaci\u00f3n.<\/p>

En definitiva, se trata de medir qu\u00e9 parte de la variaci\u00f3n total del regresando en la muestra queda explicada por la regresi\u00f3n efectuada y qu\u00e9 parte no.<\/p>

La variaci\u00f3n total del regresando en la muestra es su varianza muestral:<\/p>

V(y_t) = \\frac {\\sum _{t=1} ^T {(y_t – \\overline{y})^2}}{T} = \\frac {SCT}{T}<\/span><\/p>

Una parte de esta variaci\u00f3n queda explicada por la variabilidad de los valores estimados del regresando \u2014V( \\widehat {y}_t )<\/span>\u2014 y la otra, debida a la dispersi\u00f3n de los errores de estimaci\u00f3n \u2014 V(e_t)<\/span>\u2014 no.<\/p>

V(\\widehat {y}_t) = \\frac {\\sum _{t=1} ^T {(\\widehat {y}_t – \\overline{\\widehat {y}})^2}}{T} = \\frac {SCR}{T}<\/span><\/p>

Y, suponiendo un modelo con ordenada en el origen:<\/p>

\\sum_{t=1}^T e_{t} = \\sum_{t=1}^T (y_{t} – \\widehat {y}_t ) = 0 <\/span><\/p>

por tanto:<\/p>

V(e_t) = \\frac {\\sum _{t=1} ^T {(e_t – \\overline{e})^2}}{T} =\\frac {\\sum _{t=1} ^T {e_t^2}}{T} = \\frac {SCE}{T} <\/span><\/p>

Dado que las tres expresiones tienen denominador com\u00fan (T), para valorar la calidad del ajuste se comparan las tres sumas de cuadrados: la de totales (SCT), la de la regresi\u00f3n (SCR) y la de errores (SCE).<\/p>

En modelos con ordenada en el origen, es posible demostrar que:<\/p>

SCT = SCE + SCR <\/span><\/p>

la suma (de cuadrados) total se descompone en dos partes: la \u00absuma no explicada\u00bb<\/em> (SCE) y la \u00absuma explicada\u00bb<\/em> (SCR).<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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El ajuste es tanto mejor cuanto menor es el peso de la suma de cuadrados de errores (SCE) sobre la suma de cuadrados de totales (SCT) o cuanto m\u00e1s similares son los valores de la suma de cuadrados de la regresi\u00f3n (SCR) y la de totales (SCT). Para comparar estas magnitudes, se utiliza el coeficiente de determinaci\u00f3n.<\/p>

R^2 = 1 – \\frac {SCE}{SCT} = \\frac{SCR}{SCT} <\/span><\/p>

El R^2<\/span> es la proporci\u00f3n de la varianza muestral del regresando explicada por la funci\u00f3n de regresi\u00f3n m\u00ednimo cuadr\u00e1tica ordinaria, es decir, por las variaciones de las variables explicativas incluidas en la ecuaci\u00f3n del modelo.<\/p>

El valor de R^2<\/span>:<\/p>