{"id":2900,"date":"2021-02-16T18:59:17","date_gmt":"2021-02-16T17:59:17","guid":{"rendered":"http:\/\/fee.carlarey.es\/?page_id=2900"},"modified":"2021-04-06T05:10:58","modified_gmt":"2021-04-06T04:10:58","slug":"mrlnc","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fee.carlarey.es\/index.php\/e-learning\/mrlnc\/","title":{"rendered":"Descripci\u00f3n del problema. Especificaci\u00f3n del modelo e hip\u00f3tesis"},"content":{"rendered":"\t\t
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Caso pr\u00e1ctico<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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El propietario de un negocio de venta al por menor de un producto debe tomar una decisi\u00f3n sobre su pol\u00edtica de precios. Su preocupaci\u00f3n es que no sabe qu\u00e9 es lo que va a hacer su competidor directo. As\u00ed que, antes de pensar en su estrategia, se pregunta cu\u00e1nto variar\u00edan sus ventas si su competidor rebajase el precio de sus productos.<\/strong> No hace falta que nadie le explique que si el precio del bien competitivo se incrementa, y \u00e9l no modifica sus precios actuales, sus ventas aumentar\u00e1n, pero \u00bfcu\u00e1nto? En definitiva, este empresario quiere cuantificar el efecto aislado de una variaci\u00f3n en los precios del bien competitivo sobre las ventas de su producto. <\/strong>En lenguaje matem\u00e1tico, representamos por la letra griega \\beta_2 <\/span> a la variaci\u00f3n ( \\Delta) <\/span> de\u00a0 las ventas provocada por la variaci\u00f3n ( \\Delta )<\/span> en el precio del producto competitivo:<\/span><\/span><\/p>

\\beta_2 = \\frac {\\Delta Ventas}{\\Delta Precio \\thinspace Producto \\thinspace Competitivo} <\/span><\/span><\/p>

Si, por ejemplo, el valor de \\beta_2 <\/span> fuese 3, entonces un incremento de los precios del producto competitivo de 2 unidades monetarias dar\u00eda lugar a una variaci\u00f3n en las ventas esperadas de (3 x 2 = 6) seis unidades monetarias. Es decir, se podr\u00eda esperar un incremento en las ventas de 6 unidades monetarias como consecuencia del incremento de los precios del producto competitivo en 2 unidades monetarias, siempre y cuando los precios del producto se mantuviesen constantes.<\/span><\/p>

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La respuesta a la pregunta planteada exige, pues, un an\u00e1lisis cuantitativo de la relaci\u00f3n que existe entre estas variables. Con este prop\u00f3sito, el empresario re\u00fane los datos correspondientes a las ventas (V) de los doce meses del a\u00f1o 2001, expresadas en miles de euros, y de los precios tanto de su producto (PP) como del competitivo (PPC), expresados en euros por unidad. Pero es consciente de que las ventas no s\u00f3lo dependen del precio de ambos productos, sino que tambi\u00e9n hay otros factores que las condicionan. Finalmente, apunta que, en \u00faltima instancia, el volumen de ventas de su negocio, est\u00e1 sujeto a ciertas variaciones aleatorias en tanto en cuanto depende de la voluntad de los compradores.\u00a0<\/span><\/span><\/p>

Dado que no dispone de datos para otras variables como, por ejemplo, la renta de sus clientes, como planteamiento inicial, solo se consideran los precios como factores determinantes de las ventas y el efecto conjunto de todos estos otros factores <\/em>se recoge en una variable aleatoria (\\varepsilon)<\/span>.<\/span><\/p>

Para cada mes (t), las ventas del negocio (V_t) <\/span> quedan determinadas por una componente determinista (\\beta_0 + \\beta_1 PP_t + \\beta_2 PPC_t) <\/span> y otra aleatoria (\\varepsilon_t)<\/span>. Esta componente determinista es la esperanza matem\u00e1tica de las ventas condicionada a que los precios toman ciertos valores <\/span><\/p>

E(V_t\/ PP = PP_t , PPC = PPC_t)<\/span> <\/span><\/p>

que se conoce con el nombre de funci\u00f3n de regresi\u00f3n poblacional y que, en adelante, representaremos por E(V_t) <\/span>.\u00a0<\/span><\/p>

La ecuaci\u00f3n del modelo que explica el comportamiento de las ventas en funci\u00f3n de los precios para cada mes – representado gen\u00e9ricamente por la letra t – es: <\/span><\/p>

V_t = \\beta_0 + \\beta_1 PP_t + \\beta_2 PPC_t + \\varepsilon_t <\/span><\/span><\/p>

donde V_t<\/span> representa a las ventas del establecimiento; PP_t<\/span> a los precios del producto; PPC_t<\/span> a los precios del producto competitivo; \\beta_0, \\beta_1<\/span> y \\beta_2 <\/span> a los coeficientes y \\varepsilon_t <\/span> a las desviaciones existentes entre las ventas del t-\u00e9simo mes y el promedio de ventas, causadas por todos aquellos factores<\/em> que no han sido expl\u00edcitamente considerados en la ecuaci\u00f3n ( \\varepsilon_t = V_t – E(V_t)<\/span>).<\/span><\/p>

El objetivo es cuantificar los valores de los coeficientes \\beta <\/span> del modelo con el inconveniente de que no se conocen los valores esperados de las ventas para cada mes porque se trabaja con datos procedentes de una muestra y no con los de la poblaci\u00f3n de la que proceden que, en este caso, estar\u00eda formada por todos aquellos negocios que se dedican a la venta de este mismo producto. Este problema se resuelve calculando de forma aproximada (estimando) los valores de estos coeficientes con los datos disponibles a trav\u00e9s del m\u00e9todo de m\u00ednimos cuadrados ordinarios (MCO).<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Presentaci\u00f3n formal del modelo en \u00e1lgebra matricial<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Caso general<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Las variables que intervienen en un modelo uniecuacional m\u00faltiple (un sola ecuaci\u00f3n y k variables explicativas) est\u00e1n relacionadas mediante un conjunto de T (n\u00famero total de datos disponibles) ecuaciones lineales.\u00a0<\/p>

y_1 = \\beta_0 + \\beta_1 x_{11} + … + \\beta_k x_{k1} + \\varepsilon_{1} <\/span><\/p>

y_2 = \\beta_0 + \\beta_1 x_{12} + … + \\beta_k x_{k2} + \\varepsilon_{2} <\/span><\/span><\/p>

\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7<\/span><\/span><\/p>

y_T = \\beta_0 + \\beta_1 x_{1T} + … + \\beta_k x_{kT} + \\varepsilon_{T} <\/span><\/span><\/p>

Para escribirlas en notaci\u00f3n matricial, se definen los siguientes vectores y matrices:<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Y = \\begin{pmatrix} y_{1} \\\\ y_{2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ y_{T} \\end{pmatrix} <\/span><\/p>

Orden T x 1<\/p>

Valores observados de la variable explicada por el modelo<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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X = \\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{k1} \\\\ 1 & x_{12} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{k2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ 1 & x_{1T} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{kT} \\end{pmatrix} <\/span><\/p>

Orden: T x (k +1)<\/p>

Valores observados para los k +1 regresores<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\\beta = \\begin{pmatrix} \\beta_{0} \\\\ \\beta_{1}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ \\beta_{k} \\end{pmatrix} <\/span><\/p>

Orden: (k +1) x 1<\/p>

Coeficientes del modelo<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\\varepsilon = \\begin{pmatrix} \\varepsilon_{1} \\\\ \\varepsilon_{2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ \\varepsilon_{T} \\end{pmatrix} <\/span><\/p>

Orden: T x 1<\/p>

Perturbaciones aleatorias\u00a0<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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La expresi\u00f3n del modelo en forma matricial es: Y = X \\beta+ \\varepsilon <\/span><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Caso pr\u00e1ctico: modelo de ventas<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Con los datos para las variables ventas (V), precio del producto (PP) y precio del producto competitivo (PPC) se construye la matriz de regresores (X) y el vector de observaciones de la variable explicada (Y).<\/p>

Y = \\begin{pmatrix} 101 \\\\119\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ 139 \\end{pmatrix} <\/span>\u00a0 \u00a0 \u00a0 X = \\begin{pmatrix} 1 &10,1 &\u00a0 5,3 \\\\ 1 & 9,2 & 8,2\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ 1 & 9,9 & 14,0 \\end{pmatrix} <\/span><\/p>

El modelo est\u00e1 formado por 12 ecuaciones lineales:<\/p>

101 = \\beta_0 + \\beta_1 \u00b7 10,1 + \\beta_2 \u00b7 5,3 + \\varepsilon_{1} <\/span><\/p>

119= \\beta_0 + \\beta_1 \u00b7 9,2 +\u00a0 \\beta_2 \u00b7 8,2 + \\varepsilon_{2} <\/span><\/span><\/p>

\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7\u00b7<\/span><\/span><\/p>

139 = \\beta_0 + \\beta_1 \u00b7 9,9 + \\beta_2 \u00b7 14,0 + \\varepsilon_{12} <\/span><\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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\u00bfQu\u00e9 es la perturbaci\u00f3n (\\varepsilon)<\/span>?<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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