{"id":4119,"date":"2021-02-20T18:22:34","date_gmt":"2021-02-20T17:22:34","guid":{"rendered":"http:\/\/fee.carlarey.es\/?page_id=4119"},"modified":"2021-09-04T10:52:06","modified_gmt":"2021-09-04T09:52:06","slug":"hipotesis-del-modelo-de-regresion-lineal-normal-clasico-mrlnc","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fee.carlarey.es\/index.php\/e-learning\/mrlnc\/hipotesis-del-modelo-de-regresion-lineal-normal-clasico-mrlnc\/","title":{"rendered":"Hip\u00f3tesis del Modelo de Regresi\u00f3n Lineal Normal Cl\u00e1sico (MRLNC)"},"content":{"rendered":"\t\t
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Expresi\u00f3n formal de un modelo uniecuacional m\u00faltiple<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En \u00e1lgebra ordinaria, la ecuaci\u00f3n t-\u00e9sima viene dada por la expresi\u00f3n:<\/p>

y_t= \\beta_0 + \\beta_1 x_{1t} + … + \\beta_k x_{kt} + \\varepsilon_{t} <\/span><\/span><\/p>

En \u00e1lgebra matricial, la expresi\u00f3n del sistema de las T \u2014n\u00famero total de datos disponibles\u2014 ecuaciones lineales es:<\/p>

\u00a0 Y = X \\beta+ \\varepsilon <\/span><\/p>

\u00a0 \\begin{pmatrix} y_{1} \\\\ y_{2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ y_{T} \\end{pmatrix} =\u00a0 \\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{k1} \\\\ 1 & x_{12} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{k2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 & \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ 1 & x_{1T} & \u00b7\u00b7\u00b7 & x_{kT} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\beta_{0} \\\\ \\beta_{1}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ \\beta_{k} \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} \\varepsilon_{1} \\\\ \\varepsilon_{2}\u00a0 \\\\ \u00b7\u00b7\u00b7 \\\\ \\varepsilon_{T} \\end{pmatrix} <\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Hip\u00f3tesis del modelo de regresi\u00f3n lineal normal cl\u00e1sico (MRLNC)<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Si un modelo econom\u00e9trico satisface todos y cada uno de los supuestos que a continuaci\u00f3n se describen, es cl\u00e1sico. En ese caso, los estimadores MCO tienen todas las propiedades estad\u00edsticamente deseables.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Forma funcional<\/strong><\/p>

\"\"Se supone, en primer lugar, que la funci\u00f3n matem\u00e1tica que relaciona a la variable explicada con las explicativas, es correcta. Este supuesto es cierto siempre y cuando la funci\u00f3n de regresi\u00f3n estimada coincida con la poblacional. En las aplicaciones emp\u00edricas, habitualmente, y a fin de evitar, en la medida de lo posible, un error de este tipo, se comienza representando gr\u00e1ficamente los datos, para determinar, de forma visual, cu\u00e1l es la funci\u00f3n matem\u00e1tica que mejor se adapta a la nube de puntos.\u00a0<\/p>

Si esta funci\u00f3n no es lineal \u2014por ejemplo, si es inversa, potencial o exponencial\u2014 se convierte en lineal haciendo las transformaciones de las variables que sean necesarias. Si la no linealidad se refiere a los coeficientes \\beta<\/span> el m\u00e9todo de m\u00ednimos cuadrados ordinarios no debe aplicarse.<\/p>

\u00a0Selecci\u00f3n de regresores<\/strong><\/p>

Se asume que los regresores que figuran en la ecuaci\u00f3n del modelo se han seleccionado correctamente, es decir, que no se ha omitido ninguna variable relevante, ni se ha incluido ninguna irrelevante. La especificaci\u00f3n del modelo debe basarse en la teor\u00eda econ\u00f3mica que lo sustenta as\u00ed como en el conocimiento experto de la realidad que se pretende modelizar; a\u00fan as\u00ed, es pr\u00e1ctica habitual plantear especificaciones alternativas entre las que se selecciona la m\u00e1s apropiada.<\/p>

Datos<\/strong><\/p>

Se considera que no hay errores de observaci\u00f3n en los datos. Los errores de medici\u00f3n pueden ser de diferente naturaleza. Entre los m\u00e1s frecuentes est\u00e1n aquellos que proceden de una selecci\u00f3n inadecuada de la muestra o de respuestas incorrectas por parte de los encuestados y los que se derivan de errores tipogr\u00e1ficos en la base de datos que se ha utilizado como fuente.<\/p>

La importancia de utilizar adecuadamente los datos es algo obvio, sobre todo si se tiene en cuenta la posibilidad de que distintas fuentes no definan de la misma forma a las variables consideradas o incorporen cambios metodol\u00f3gicos, en cuyo es necesario un proceso previo de homogeneizaci\u00f3n de las series.<\/p><\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t

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La perturbaci\u00f3n aleatoria es una variable estoc\u00e1stica, de valores desconocidos, <\/span>que recoge el efecto conjunto de todos aquellos fac<\/em>tores<\/em> que no figuran expl\u00edcitamente en la ecuaci\u00f3n del modelo. Si el modelo est\u00e1 correctamente especificado, estos <\/span>factores,<\/em> individualmente considerados, no son relevantes en la explicaci\u00f3n del comportamiento del regresando pero, al actuar conjuntamente, ocasionan que los valores que toma la variable explicada ( Y <\/span>) se desv\u00eden de sus valores esperados ( E(Y) = X \\beta) <\/span>.<\/span><\/p>

Aunque insignificante, algunos de estos factores<\/em> tienen un efecto positivo sobre el comportamiento del regresando mientras que en otros casos, la influencia es negativa de tal forma que, presumiblemente, se compensan. En lenguaje matem\u00e1tico esto equivale a decir que la esperanza matem\u00e1tica de la perturbaci\u00f3n es nula:<\/strong><\/p>

E(\\varepsilon_{t})\u00a0 =0 \\quad \\forall t <\/span><\/p>

Si este supuesto se asume, la funci\u00f3n de regresi\u00f3n poblacional es:<\/p>

E(Y_{t})\u00a0 = \\beta_{0} + \\beta_{1} x_{1t} + \u00b7\u00b7\u00b7 + \\beta_{k} x_{kt}\u00a0 <\/span><\/p>

Se supone adem\u00e1s, que las perturbaciones tienen varianzas constantes e iguales entre si (hip\u00f3tesis de homocedasticidad<\/em>)<\/strong>. Es decir, se presume que estas varianzas no dependen de los valores que tomen los regresores del modelo.\u00a0 En lenguaje matem\u00e1tico:<\/p>

V(\\varepsilon_{t}) = E(\\varepsilon_{t} – E(\\varepsilon_{t}))^2 = E(\\varepsilon_{t}^{2})\u00a0 =\\sigma^{2} \\quad \\forall t <\/span><\/p>

Lo que equivale a suponer que las varianzas de los elementos del vector Y son constantes e iguales entre si. Dado que:<\/p>

\\varepsilon_{t} = y_{t} – E(y_{t}) \\rightarrow V(y_{t}) =E(y_{t} – E(y_{t}))^{2} =E(\\varepsilon_{t}^{2}) <\/span><\/p>

Para ilustrar este concepto, planteamos el caso de un modelo uniecuacional simple en el que el comportamiento del gasto en consumo (Y) se explica en funci\u00f3n de los ingresos semanales disponibles (X).\u00a0<\/p>

\"\"La hip\u00f3tesis de homocedasticidad implica admitir que la dispersi\u00f3n de los gastos en consumo (Y) no aumenta a medida que se incrementan los ingresos semanales disponibles (X).\u00a0 Gr\u00e1ficamente esto se traduce en que, en este caso, la dispersi\u00f3n del gasto en consumo (Y) alrededor de la recta de regresi\u00f3n no aumenta con el nivel de ingresos semanales disponibles (X).<\/p>

Esto no es lo que sucede habitualmente en la pr\u00e1ctica ya que es l\u00f3gico pensar que, mientras que los individuos de ingresos bajos raramente van a tener gastos de consumo que se desv\u00eden de forma importante de la media de su grupo (lo impide su restricci\u00f3n presupuestaria); los que tienen ingresos altos tienen m\u00e1s posibilidades de decidir a qu\u00e9 dedican sus ingresos semanales y es probable que puedan registrarse diferencias importantes entre el gasto en consumo y el gasto medio.<\/p>

Lo que hemos se\u00f1alado permite esperar que la dispersi\u00f3n del gasto y, por tanto, la dispersi\u00f3n de la perturbaci\u00f3n, sea m\u00e1s alta en el grupo de individuos que tienen ingresos elevados. Si este fuese el caso, la perturbaci\u00f3n aleatoria ser\u00eda heteroced\u00e1stica y, por tanto, no tendr\u00eda una varianza constante.<\/p>

El incumplimiento de la hip\u00f3tesis de homocedasticidad es m\u00e1s frecuente en modelos atemporales, en los que se consideran observaciones para distintas unidades econ\u00f3micas en el mismo momento del tiempo, que en modelos temporales, en los que se consideran observaciones para una unidad econ\u00f3mica en distintos momentos del tiempo.<\/p>

Tambi\u00e9n se admite que las covarianzas entre perturbaciones correspondientes a diferentes observaciones son nulas (hip\u00f3tesis de incorrelaci\u00f3n<\/em>)<\/strong>, o lo que es lo mismo, se presume que no hay relaciones lineales entre ellas.<\/p>

Cov(\\varepsilon_{t}, \\varepsilon_{s}) = E(\\varepsilon_{t} – E(\\varepsilon_{t}))(\\varepsilon_{s} – E(\\varepsilon_{s})) =E(\\varepsilon_{t} \u00b7 \\varepsilon_{s})\u00a0 =\\sigma_{t,s} = 0 \\quad \\forall t \\neq s<\/span><\/p>

Lo que equivale a suponer que las covarianzas entre distintos elementos del vector Y son nulas. Dado que:<\/p>

\\varepsilon_{t} = y_{t} – E(y_{t}) \\rightarrow Cov(y_{t}, y_{s}) =E[(y_{t} – E(y_{t}))(y_{s} – E(y_{s}))] =E(\\varepsilon_{t} \u00b7 \\varepsilon_{s}) = 0 \\quad \\forall t \\neq s <\/span>\u00a0<\/p>

Continuando con el caso del modelo que explica el comportamiento de los gastos en consumo (Y) en funci\u00f3n de los ingresos semanales disponibles(X), esto significar\u00eda que un hecho extraordinario, como por ejemplo la visita que recibe un individuo, no afecta al gasto en consumo de otro. El incumplimiento de esta hip\u00f3tesis es m\u00e1s frecuente en las series de tiempo que en las de corte transversal.<\/p>

Finalmente, se supone que la distribuci\u00f3n de las perturbaciones es normal<\/strong>.\u00a0<\/p>

\\varepsilon_{t} \\sim N(0, \\sigma^{2}) \\quad \\forall {t}<\/span><\/p>

Esta suposici\u00f3n se basa en el Teorema Central del L\u00edmite que, en condiciones muy generales, garantiza que la suma de variables aleatorias, a medida que el n\u00famero de sumandos aumenta, converge en distribuci\u00f3n a una normal.\u00a0<\/p>

La perturbaci\u00f3n aleatoria recoge el efecto conjunto de todos los factores<\/em> omitidos de la ecuaci\u00f3n del modelo y, en este sentido, puede decirse que cada perturbaci\u00f3n, formada por la \u00absuma de infinitas variables aleatoria<\/em>s\u00bb, sigue una distribuci\u00f3n normal.\u00a0<\/p>

En base a esta suposici\u00f3n se pueden deducir las distribuciones de probabilidad de los estimadores m\u00ednimo cuadr\u00e1ticos ordinarios (EMCO) con las que se definen los estad\u00edsticos adecuados para la inferencia estad\u00edstica.\u00a0<\/p>

Forma matricial<\/strong><\/p>